En este marco el pensamiento algebraico considera las formas de hacer, de pensar y de expresar el álgebra. Hasta hace pocas décadas, el pensamiento algebraico se consideraba irremediablemente asociado al simbolismo algebraico (Usiskin, 1988). En la actualidad, hablar de pensamiento algebraico no hace referencia al simbolismo algebraico únicamente, aunque puede aparecer involucrado.

El pensamiento algebraico es “una aproximación a situaciones cuantitativas que enfatiza los aspectos de la relación general con expresiones que no son necesariamente propias del simbolismo algebraico” (Kieran, 1996, p. 275). Kaput (2008) caracteriza el pensamiento algebraico a través de dos aspectos centrales. Uno de esos aspectos tiene que ver con la generalización y su expresión a través de representaciones que van ganando en formalismo (hasta llegar a expresiones algebraicas formales). El segundo aspecto tiene que ver con el razonamiento y la manipulación de expresiones simbólicas. En esta misma línea, otros autores (e.g., Soares, Blanton y Kaput, 2006) consideran que el pensamiento algebraico es un proceso cognitivo que permite a los estudiantes establecer y construir relaciones matemáticas generales, que pueden ser expresadas de diferentes formas y van evolucionando con el tiempo, pudiendo ser una de ellas el simbolismo algebraico.

Nos referimos aquí al álgebra escolar, que es aquella que es propia de los niveles de la educación obligatoria. Adoptamos una concepción multidimensional y, por tanto, amplia del álgebra escolar. Esta es compartida actualmente en la comunidad de investigadores. Kaput et al. (2008) argumentan que esta visión es esencial al tratar de identificar modos en que el aprendizaje del álgebra puede partir de las habilidades y conocimientos previos de los estudiantes o puede ser integrado en el currículo de la Educación Primaria. Estos autores insisten en que una comprensión profunda del álgebra, de su pertinencia, su estructura y de los significados de los conceptos algebraicos fundamentales solo puede surgir de la consideración de las múltiples situaciones que las hacen significativas. Así mismo, en la práctica educativa no pueden ser separadas radicalmente debido a que una situación o contexto a menudo provoca actividades algebraicas correspondientes a diferentes visiones del álgebra (Drijvers y Hendrikus, 2003).

Entre las concepciones del álgebra se incluyen la aritmética generalizada, el estudio de relaciones funcionales y patrones, y el estudio de estructuras.

Para la construcción de conocimiento en general y, en particular, de conocimiento matemático, es fundamental la generalización (Castro, Cañadas y Molina, 2010). Mason et al. (1985) entre otros autores la destacan como la raíz del álgebra. A través de diferentes aproximaciones, la mayoría de los autores señalan que generalizar es reconocer una regularidad que va más allá de casos particulares dados y su representación, ya sea explicitando la similitud presente o bien ampliando el razonamiento hacia los patrones, procedimientos, estructuras y relaciones entre estos (Kaput, 1999). Stephens, Ellis, Blanton y Brizuela (2017) diferencian la generalización como proceso y como producto. El producto se obtendría de tres procesos: (a) identificar la regularidad en un conjunto de elementos, (b) razonar más allá de los casos en cuestión y (c) ampliar los resultados más allá de los casos particulares. El producto es el resultado de dichos procesos.

En nuestro trabajo asumimos la generalización como el aspecto transversal por excelencia en la mayoría de las concepciones del álgebra pudiendo referir a la generalización de relaciones aritméticas, de patrones, de relaciones funcionales, de estructuras, de métodos para resolver problemas, o bien a la resolución de problemas de generalización o a las representaciones que se emplean en la generalización (siendo el lenguaje algebraico una de ellas).

La generalización permite flexibilizar el pensamiento matemático de los estudiantes, permitiéndoles (a) dejar a un lado información irrelevante, (b) adaptar, ajustar y reorganizar experiencias previas, (c) prestar atención a determinadas ideas, habilidades y propiedades que involucran diferentes situaciones y (d) resolver problemas y entender diferentes situaciones matemáticas (Carpenter & Levi 2000; Carraher & Schliemann, 2015; Warren, 2005).

La noción de estructura está presente en la mayoría de las concepciones o enfoques que se reconocen al algebra escolar (Molina y Cañadas, 2018). En el marco de la aritmética generalizada el término estructura refiere a un sistema compuesto por un conjunto de objetos matemáticos, una o más operaciones, así como ciertas propiedades y relaciones de y entre estos objetos y operaciones (Castro, Rico y Romero, 1997).

En la concepción funcional del algebra el término estructura es equivalente a regularidad o patrón entre valores de las dos variables relacionadas (Torres, Cañadas, Moreno, & Gómez, under review). En el estudio de patrones este término se emplea de forma más imprecisa no siendo fácil, en ocasiones, distinguir la noción de patrón y la noción de estructura. Consideramos la primera más amplia, conteniendo a la segunda. Entendemos que la noción de estructura hace referencia a la identificación del patrón a través de casos particulares, y a la expresión o aplicación del mismo para el caso general.

Desde la concepción del álgebra como herramienta para la expresión de métodos generales que resuelven clases de problemas, el término estructura se emplea para hacer referencia a la estructura semántica del problema, la cual permite distinguir significados que se asignan a las operaciones en los problemas verbales (Molina y Cañadas, 2018).

El pensamiento funcional se considera parte del pensamiento algebraico. Puede ser caracterizado como el proceso de construcción, descripción y razonamiento con y acerca de las funciones (Blanton, Levi, Crites, & Dougherty, 2011); y está constituido por tópicos, procedimientos y relaciones que involucran a las funciones (Rico, 2006). Por tanto, las funciones son el contenido matemático central del pensamiento funcional. Las funciones se consideran una potente herramienta en matemáticas (además de en otras disciplinas) para comprender, modelar y predecir el comportamiento de muchos de fenómenos del mundo real (Blanton, 2008) y pueden servir como temática que conecte e incluso unifique diferentes contenidos del currículo (Freudenthal, 1982; Schwartz, 1990; Teixidor, Schliemann y Carraher, 2013).

Las variables, sus relaciones, la recursividad, la correspondencia entre valores de las variables, la generalización de la relación funcional o la utilización de diferentes sistemas de representación en un contexto de resolución de problemas que involucran funciones son elementos clave para el desarrollo del pensamiento funcional desde los primeros cursos. Conocer las capacidades de los estudiantes de cursos inferiores a la Educación Secundaria relativas al pensamiento funcional puede ayudar a facilitar el desarrollo de conocimientos relacionados con otros contenidos matemáticos en esos cursos, y con las funciones y otros contenidos matemáticos, en cursos superiores.

Por el contenido matemático que involucra el pensamiento funcional (las funciones), los patrones o regularidades que se observan entre las cantidades covariantes tienen un nombre específico: relaciones funcionales. Los estudios que abordan las funciones desde el punto de vista matemático, distinguen tres tipos de relaciones funcionales: (a) recurrencia, que supone identificar el patrón en una secuencia de valores; (b) correspondencia, que refiere a la relación entre pares correspondientes de la variable dependiente e independiente; y (c) covariación, en donde el foco se encuentra dado por el análisis de cómo dos cantidades varían al mismo tiempo y cómo los cambios que se producen en una afectan a la otra (Confrey y Smith, 1991; Smith, 2008).

Kieran (2007) señala la resolución de problemas como una aproximación al álgebra escolar, que conecta con los orígenes del álgebra. La resolución de problemas aporta un contexto en el que los alumnos pueden expresar sus propios razonamientos y estrategias así como utilizar diferentes sistemas de representación. Teniendo en cuenta que no es conveniente involucrar al álgebra de un modo artificial en tareas que se pueden resolver utilizando el sentido común y estrategias informales (Drijvers, Dekker y Wijers, 2011), en este proyecto abordamos el reto de diseñar o encontrar tareas relacionadas con el entorno de los estudiantes que permitan trabajar de forma significativa con el álgebra escolar.

Nos centramos en lo que Castro y Castro (1997) denominan representaciones externas. En el álgebra conviven diferentes representaciones que ayudan a hacer presentes los objetos matemáticos abstractos (Molina, 2014). Entre ellas se encuentran, principalmente el lenguaje verbal, el simbolismo algebraico y los sistemas de representación tabular, gráfico y numérico. Además pueden considerarse representaciones pictóricas y manipulativas.

- En el simbolismo algebraico las letras representan variables con el significado de cantidades indeterminadas cambiantes, y las expresiones algebraicas describen las relaciones entre las cantidades. La representación simbólica es de gran utilidad para representar de forma sintética y precisa relaciones entre cantidades indeterminadas. Sin embargo, otras representaciones resaltan otros elementos del contenido matemático y relaciones entre los mismos, y son especialmente interesantes cuando se introducen en los primeros cursos del sistema educativo.

- La representación tabular provee de una estructura para presentar de forma visible cantidades relacionadas. Conforme los niños registran valores en una tabla, empiezan a trabajar con las ideas de correspondencia entre cantidades porque tienen que atender a dónde van los números en la tabla. Aprenden al significado que subyace en la posición de los números distinguiendo tanto por filas como por columnas. En los primeros cursos los estudiantes pueden empezar a reconocer dónde y cómo usar la representación tabular para organizar datos. Conforme le van dando significado a esta representación pueden atender a las relaciones funcionales existentes entre los datos.

- Las representaciones gráficas, convencionales o inventadas, son herramientas importantes para que los estudiantes accedan de forma visual a información sobre relaciones. En la etapa de primaria se propone la iniciación en la construcción y lectura de herramientas visuales como los gráficos representando únicamente puntos (Blanton, 2008; Blanton et al., (2011).

- Las representaciones pictóricas son dibujos que permiten expresar relaciones. Los niños de primeros cursos de educación primaria encuentran en estas representaciones un lenguaje cercano para apoyar sus razonamientos y para hacer más concretas las ideas matemáticas. El uso de estas representaciones ayuda a reducir la carga cognitiva de la tarea para el alumno al ayudarles a hacer y mantener visible cierta información y reflexionar sobre las ideas implicadas. (Blanton, 2008).

- Las representaciones manipulativas sirven el mismo papel que las representaciones pictóricas pero en este caso se trata de materiales físicos manipulables.

El uso de diferentes representaciones sirve como mediador y apoyo para el desarrollo del pensamiento algebraico, permite a los alumnos resolver ambigüedades de alguna de las representaciones y genera un pensamiento más flexible (Brizuela y Earnest, 2008).

Balacheff (2000) identifica explicación, la prueba y la demostración (en orden creciente de formalización) como los procesos de validación que permiten llegar a la convicción sobre una conjetura. En la explicación el sujeto locutor establece y garantiza la validez. El paso de la explicación a la prueba hace referencia a un proceso social por el cual un discurso que asegura la validez de una proposición cambia de posición siendo aceptada por una comunidad. Una prueba es una justificación informal que no tiene la generalidad suficiente para ser considerada una demostración formal.

Nos interesamos por indagar sobre las explicaciones y pruebas que realizan los estudiantes de infantil y primaria. A una edad temprana, hay alumnos que están capacitados para realizar pruebas vinculadas a lo empírico (e.g., Maher y Martino, 1996) pero, en general, los estudiantes de los niveles educativos medios no suelen realizar procesos de validación formales para justificar sus propias conjeturas (Cañadas, 2007).